Quina de les següents opcions té el nombre màxim d’arrels reals?

Resposta:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # amb #4# arrels reals.

Explicació:

Tingueu en compte que les arrels de:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

són un subconjunt de la unió de les arrels de les dues equacions:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):}

Tingueu en compte que si una d’aquestes dues equacions té un parell d’arrels reals, aleshores també ho fa l’altre, ja que tenen el mateix discriminant:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Tingueu en compte que si #a, b, c # llavors tots tenen el mateix signe # ax ^ 2 + b abs (x) + c # sempre tindrà valors d’aquest signe quan # x # És real. Així, doncs, en els nostres exemples # a = 1 #, de seguida, podem observar que:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

així que no hi ha zeros.

Vegem les altres tres equacions:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x en {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x en {-2, 1}):}

Provant cadascuna d’elles, trobem solucions #x a {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x en {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x en {-1, -2}):}

Intentant cadascun d’aquests, trobem que totes són solucions a l’equació original, és a dir, #x a {-2, -1, 1, 2} #

Mètode alternatiu

Tingueu en compte que les arrels reals de # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (on?) #c! = 0 #) són arrels reals positives de # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Per tant, trobar quines de les equacions donades tenen les arrels més reals equival a trobar quines de les corresponents equacions quadràtiques ordinàries tenen arrels reals més positives.

Una equació quadràtica amb dues arrels reals positives té signes en el patró #+ - +# o bé #- + -#. En el nostre exemple, el primer signe sempre és positiu.

Dels exemples donats, només el segon i el tercer tenen coeficients en el patró #+ - +#.

Podem descomptar la segona equació # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # ja que el seu discriminant és negatiu, però per a la tercera equació trobem:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

té dues arrels reals positives, donant lloc #4# arrels de l’equació # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #