Resposta:
#sqrt (ax ^ 2 + bx + c) = sqrt a "" x + sqrt c #, sempre que # a # i # c # no són negatius, i #b = + - 2sqrt (ac). #
Explicació:
Si # ax ^ 2 + bx + c # és un quadrat perfecte, llavors la seva arrel quadrada és # px + q # per a alguns # p # i # q # (en termes de #a, b, c #).
# ax ^ 2 + bx + c = (px + q) ^ 2 #
#color (blanc) (ax ^ 2 + bx + c) = p ^ 2 "" x ^ 2 + 2pq "" x + q ^ 2 #
Per tant, si se'ns dóna # a #, # b #, i # c #, necessitem # p # i # q # i que
# p ^ 2 = a #, # 2pq = b #, i
# q ^ 2 = c #.
Així,
#p = + - sqrt a #, #q = + - sqrt c #, i
# 2pq = b #.
Però espereu, ja # p = + -sqrta # i #q = + - sqrtc #, ha de ser això # 2pq # és igual a # + - 2sqrt (ac) # també # ax ^ 2 + bx + c # només serà un quadrat perfecte quan #b = + - 2sqrt (ac). # (També, per tenir una arrel quadrada, # a # i # c # tots dos han de ser #ge 0 #.)
Tan,
#sqrt (ax ^ 2 + bx + c) = px + q #
#color (blanc) (sqrt (ax ^ 2 + bx + c)) = sqrt a "" x + sqrt c #,
si
#a> = 0 #, #c> = 0 #, i
#b = + - 2sqrt (ac) #.
