Quines són les possibles arrels racionals x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Resposta:

Aquest quintic no té arrels racionals.

Explicació:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Pel teorema de l’arrel racional, qualsevol zeros de #f (x) # són expressibles en el formulari # p / q # per a enters #p, q # amb # p # un divisor del terme constant #-12# i # q # un divisor del coeficient #1# del terme principal.

Això significa que l’únic possible racional zeros són:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Tingues en compte que #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # té tots els coeficients negatius. Per tant #f (x) # no té zeros negatius.

Així que l’únic possible racional zeros són:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Avaluació #f (x) # per a cadascun d’aquests valors, trobem que cap és un zero. Tan #f (x) # no té racional zeros.

En comú amb la majoria dels quintics i polinomis de grau superior, els zeros no són expressibles en termes de # n #les arrels o les funcions elementals, incloses les funcions trigonomètriques.

Podeu utilitzar mètodes numèrics com Durand-Kerner per trobar aproximacions:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #