Com trobeu totes les solucions de 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # per

#x a {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # on #n en ZZ #

Resol: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Primer, substituïu-lo # cos ^ 2 x # per # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0.

Anomenada # sin x = t #, tenim:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Aquesta és una equació quadràtica de la forma # a ^ 2 + bt + c = 0 # que es pot resoldre mitjançant una drecera:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

o factoring a # - (2t-1) (t + 1) = 0

Una arrel real és # t_1 = -1 # i l'altra és # t_2 = 1/2 #.

A continuació, solucioneu les 2 funcions trigonomèriques bàsiques:

# t_1 = sin x_1 = -1

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (per #n en ZZ #)

i

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

o bé

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2 npi

Comproveu amb l’equació (1):

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (correcte)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (correcte)