Si a ^ 3 + b ^ 3 = 8 i a ^ 2 + b ^ 2 = 4 quin és el valor de (a + b)?

Resposta:

Hi ha dos valors possibles per a la suma, # a + b = 2 # (per # a = 2 # i # b = 0 #) o # a + b = -4 # (per # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}).

Explicació:

Hi ha realment dues incògnites, la suma i el producte de # a # i # b, # així que aneu #x = a + b # i #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy

Dues equacions en dues incògnites, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0

Això s’anomena cúbics deprimits, i aquests tenen una solució de forma tancada bastant fàcil com la fórmula quadràtica. Però, en lloc de tocar això, suposem una arrel pel mètode d'honor de provar petits nombres. Nosaltres veiem # x = 2 # funciona així # (x-2) # és un factor.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0

Ara podem seguir un factor més

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Per tant, hi ha dos valors possibles per a la suma, # a + b = 2 # i # a + b = -4. #

La primera resposta correspon a la solució real # a = 2, b = 0 # i per simetria # a = 0, b = 2 #. La segona resposta correspon a la suma d'un parell de conjugats complexos. Són # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Podeu comprovar aquesta solució?

Resposta:

# (a + b) = 2 o, a + b = -4 #

Explicació:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Ara,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Deixar,

# (a + b) = x #

Tan, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

Observeu-ho #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # és un factor.

Ara, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2 o, x = -4 #.

#:. a + b = 2, o, a + b = -4 #.

Aquí es mostra el gràfic.

El valor de #color (vermell) ((a + b) = 2 o -4. #

Espero que ajudi …

Gràcies…