Sigui S un quadrat d’àrea d’unitat. Considerem qualsevol quadrilàter que tingui un vèrtex a cada costat de S. Si a, b, c i d indiquen les longituds dels costats del quadrilàter, demostrem que 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Deixar # ABCD # siga un quadrat d’àrea d’unitat.

Tan # AB = BC = CD = DA = 1 # unitat.

Deixar # PQRS # ser un quadrilàter que tingui un vèrtex a cada costat de la plaça. Aquí deixem # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Podem escriure l’aplicació del teorema de Pitàgores

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + i ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-i-z-w)

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-i-z-w)

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (i-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Ara, pel problema que tenim

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Per tant

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #