Pregunta # f8e6c

Resposta:

Expresseu-lo com una sèrie geomètrica per trobar la suma #12500/3#.

Explicació:

Anem a expressar-ho com una suma:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Des de #1.12=112/100=28/25#, això és equivalent a:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Utilitzant el fet que # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, tenim:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

A més, podem tirar del #500# fora del signe de sumació, així:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Bé, ara què és això? Bé, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # és el que es coneix com a sèrie geomètrica. Les sèries geomètriques impliquen un exponent, que és exactament el que tenim aquí. El més impressionant de sèries geomètriques com aquesta és que resumeixen # r / (1-r) #, on? # r # és la relació comuna; és a dir, el nombre que es va elevar a l'exponent. En aquest cas, # r # és #25/28#, perquè #25/28# és el que es planteja a l'exponent. (Nota lateral: # r # ha d'estar entre #-1# i #1#, o bé la sèrie no s’afegeix a res.)

Per tant, la suma d'aquesta sèrie és:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Acabem de descobrir-ho #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, així que l’únic que queda és multiplicar-lo #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Podeu obtenir més informació sobre sèries geomètriques aquí (us animo a veure tota la sèrie que Khan Academy té sobre sèries geomètriques).