Demostrar que la funció no té cap límit a x_0 = 0? + Exemple

Resposta:

Vegeu l’explicació.

Explicació:

Segons la definició de Heine d’un límit de funció, tenim:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Així que per mostrar que té una funció NO límit a # x_0 # hem de trobar dues seqüències # {x_n} # i # {bar (x) _n} de tal manera que

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} barra (x) _n = x_0 #

i

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (barra (x) _n)

En l’exemple donat aquestes seqüències poden ser:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # i #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Ambdues seqüències convergeixen a # x_0 = 0 #, però segons la fórmula de la funció tenim:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

perquè tots els elements de # x_n # estan a #1,1/2,1/4,…#

i per #bar (x) _n # tenim:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2

però per a tots #n> = 2 # tenim: #f (barra (x) _n) = 1

Per tant, per #n -> + oo # tenim:

#lim_ {n -> + oo} f (barra (x) _n) = 1 (**)

Ambdues seqüències a # x_0 = 0 #, però els límits (*) i (**) són NO igual, així que el límit #lim_ {x-> 0} f (x) # no existeix.

QED

La definició de límit es pot trobar a la Viquipèdia a:

Resposta:

Aquí hi ha una prova que utilitza la negació de la definició de l’existència d’un límit.

Explicació:

Versió curta

#f (x) # no pot apropar-se a un sol número # L # perquè a qualsevol barri de #0#, la funció # f # adquireix valors diferents entre si #1#.

Així que no importa el que algú ens proposi # L #, hi ha punts # x # a prop #0#, on? #f (x) # és almenys #1/2# unitat allunyada de # L #

Versió llarga

#lim_ (xrarr0) f (x) # existeix si i només si

hi ha un nombre, # L # tal com per a tots #epsilon> 0 #, hi ha un #delta> 0 # tal que per a tots # x #, # 0 <abs (x) <delta # implica #abs (f (x) -L) <epsilon #

La negació d’aquest és:

#lim_ (xrarr0) f (x) # no existeix si i només si

per a cada nombre, # L # hi ha un #epsilon> 0 #, de tal manera que per a tots #delta> 0 # hi ha un # x #, de tal manera que # 0 <abs (x) <delta # i #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Donat un número # L #, Ho deixaré #epsilon = 1/2 # (més petit # epsilon # treballarà també)

Ara se'ls dóna un valor positiu # delta #, He de demostrar que hi ha una # x # amb # 0 <absx <delta # i #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (recordeu això #epsilon = 1/2 #)

Donat un valor positiu # delta #, eventualment # 1/2 ^ n <delta # així que hi ha un # x_1 # amb #f (x_1) = 2 #.

També hi ha un element # x_2 a RR- {1, 1/2, 1/4,… } # # amb # 0 <x_2 <delta # i #f (x_2) = 1 #

Si #L <= (1/2) #, llavors #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Si #L> = (1/2) #, llavors #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #