Valoreu la integral indefinida: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Resposta:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Explicació:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Completa el quadrat, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) dx #

Substituïu # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Substituïu # u = 5sin (v) # i # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Simplifica, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Refina, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Treu la constant, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Aplica fórmules de doble angle

# 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Treu la constant, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Integrar, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Substituïu de nou # v = arcsin (u / 5) # i # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + cancel·lar (1 / 2sin) (cancel·lar (2arcsin) ((x-5) / 5)) "+ c #

Simplifica, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Refina, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, on? # c # és la constant d’integració.

Tadaa: D

Resposta:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Explicació:

Què és #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Tingueu en compte que el domini de la funció que s’integra és on el quadràtic interior és positiu, és a dir, #x a 0, 10 #

Aquesta expressió es pot integrar mitjançant substitucions. Tot i que una possible via per a la integració no es presenta immediatament, si competim el quadrat, es pot dur a terme una substitució trigonomètrica:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Que, notem, està en la forma clàssica de substitució trigonomètrica, és a dir, el quadrat d'un nombre menys el quadrat d'un lineal # x # funció.

Primer, per desfer-se del lineal, vam deixar anar #u = x-5 #, que dóna # du = dx #, de manera que podem reescriure la integral anterior:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Ara per a la segona substitució, anem #u = 5sintheta #, que canvia la integral a:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (podem ignorar els valors de valor absolut)

Per descomptat, el # dx # no està ajudant, de manera que distingim l’equació de substitució per obtenir: #du = 5costheta d theta #, de manera que la integral es converteix en:

# 25 int cos ^ 2 theta d #

Ara podem fer servir una fórmula de doble angle per fer la integració # cos ^ 2 theta # més fàcil:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Així que la integral es converteix en:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d d

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (utilitzant una fórmula d’angle doble)

Ara, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Per tant, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

I, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #