Pregunta # ba262

Resposta:

La prova és una mica llarga, però manejable. Mirar abaix.

Explicació:

Quan intenteu demostrar identitats trigonomètriques que impliquen fraccions, sempre és convenient afegir les fraccions:

# sint / (1 cost) + (1 + cost) / sint = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> sint / (1 cost) sint / sint + (1 + cost) / sint (1 cost) / (1 cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1 cost) (sint) + ((1 + cost) (1 cost)) / ((1 cost) (sint)) (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + cost) (1 cost)) / ((1 cost) (sint)) (2 (1 + cost)) / sint #

L’expressió # (1 + cost) (1 cost) # és en realitat una diferència de quadrats disfressats:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Amb # a = 1 # i # b = cost #. Es valora a # (1) ^ 2- (cost) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Podem anar més enllà # 1-cos ^ 2t #. Recordem la identitat pitagòrica bàsica:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Restant # cos ^ 2x # des de tots dos costats, veiem:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Des de # x # és només una variable espacial, podem dir-ho # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Per tant, el # (1 + cost) (1 cost) # es converteix # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1 cost) (sint)) (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1 cost) (sint)) (2 (1 + cost)) / sint #

Tingueu en compte que els sinus cancel·len:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1 cost) cancel·lar ((sint)) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (2sint) / (1 cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

Gairebé hem acabat. L’últim pas és multiplicar el costat esquerre pel conjugat de # 1-cost # (el qual és # 1 + cost #), per aprofitar la diferència de la propietat de quadrats:

# (2sint) / (1 cost) (1 + cost) / (1 + cost) = (2 (1 + cost)) / sint #

# -> (2sint (1 + cost)) / ((1 cost) (1 + cost)) = (2 (1 + cost)) / sint #

Una vegada més, ho podem veure # (1 cost) (1 + cost) # és una diferència de quadrats, amb # a = 1 # i # b = cost #. Es valora a # (1) ^ 2- (cost) ^ 2 #, o # 1-cos ^ 2t #. Ja ho vam mostrar # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, de manera que el denominador es reemplaça:

# (2sint (1 + cost)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + cost)) / sint #

Sines cancel·lar:

# (2cancel (sint) (1 + cost)) / (cancel·la (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + cost)) / sint #

I voila, prova completa:

# (2 (1 + cost)) / sint = (2 (1 + cost)) / sint #

Resposta:

Deixa'm provar

Explicació:

# LHS = sint / (1 cost) + (1 + cost) / sint #

Inspeccionar el RHS que fem comú# (1 + cost) / sint #

Tan

# LHS = (1 + cost) / sint (sint / (1 + cost) * sint / (1 cost) +1) #

# = (1 + cost) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + cost) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + cost) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + cost)) / sint = RHS #

Provat