Si us plau, ajuda'm en això, com fer-ho?

Resposta:

#k = 3 #

Explicació:

Utilitzant les propietats dels exponents # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # i # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, tenim

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Per tant #13!# és divisible per # 24 ^ k # si i només si #13!# és divisible per # 2 ^ (3k) # i és divisible per # 3 ^ k #.

Podem dir-li el major poder #2# pel qual #13!# és divisible per si mirem els seus factors divisibles per #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Com cap dels factors estranys no aporta cap factor de #2#, tenim

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

on # m és algun nombre enter no divisible per #2#. Com a tal, ho sabem #13!# és divisible per # 2 ^ (3k) # si i només si #2^10# és divisible per # 2 ^ (3k) #, és a dir # 3k <= 10 #. Com # k # és un enter, això significa #k <= 3 #.

A continuació, podem mirar quins són els factors de #13!# són divisibles per #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Com no hi ha altres factors de #13!# contribuir amb qualsevol factor de #3#, això vol dir

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

on # n # és algun nombre enter no divisible per #3#. Com a tal, ho sabem #3^5# és divisible per # 3 ^ k #, és a dir #k <= 5 #.

El nombre sencer no negatiu més gran que compleix les restriccions #k <= 3 # i #k <= 5 # és #3#, donant-nos la nostra resposta # k = 3 #.

Una calculadora ho verifica #(13!)/24^3 = 450450#, mentre que #(13!)/24^4=18768.75#