Com es pot ampliar a la sèrie Maclaurin? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Resposta:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visual: consulteu aquest gràfic

Explicació:

És evident que no podem avaluar aquesta integral ja que utilitza qualsevol de les tècniques d’integració regular que hem après. Tanmateix, com que és una integral definitiva, podem utilitzar una sèrie de MacLaurin i fer el que s'anomena terme per integració de termes.

Haurem de trobar la sèrie MacLaurin. Com que no volem trobar el desè derivat d’aquesta funció, haurem de provar d’adaptar-lo a una de les sèries de MacLaurin que ja coneixem.

En primer lloc, no ens agrada #registre#; volem fer això # ln #. Per fer-ho, simplement podem utilitzar el canvi de fórmula base:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Així que tenim:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Per què fem això? Bé, ara ho notareu # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Per què és tan especial? Bé, # 1 / (1-x) # és una de les sèries de MacLaurin més utilitzades:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…per a tot # x # endavant #(-1, 1#

Per tant, podem utilitzar aquesta relació per a nosaltres i substituir-la #ln (1-t) # amb # int-1 / (1-t) dt #, que ens permet substituir-lo # ln # terme amb una sèrie de MacLaurin. Posar-ho junts dóna:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Avaluant la integral:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Cancel·lació del # t # terme en el denominador:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

I ara, prenem la integral definitiva amb la qual vam començar el problema amb:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Nota: Observeu com ara no necessitem preocupar-nos per dividir per zero en aquest problema, que és un problema que hauríem tingut en l’interior original a causa del # t # terme en el denominador. Com que es va cancel·lar en el pas anterior, es mostra que la discontinuïtat és amovible, la qual cosa ens funciona bé.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # avaluat de #0# a # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Assegureu-vos que teniu compte, però, que aquesta sèrie només és bona per a l'interval #(1, 1#, ja que la sèrie MacLaurin que hem utilitzat anteriorment només convergeix en aquest interval. Fes un cop d'ull a aquest gràfic que he fet per tenir una millor idea del que sembla.

Espero que t'hagi ajudat:)

Nick pot llançar un beisbol tres vegades més que el nombre de peus, f, que Jeff pot llançar el beisbol. Quina és l’expressió que es pot utilitzar per trobar el nombre de peus que Nick pot llançar a la pilota?

4f +3 Atès que, el nombre de peus que Jeff pot llançar al beisbol és que Nick pot llançar un beisbol tres més de quatre vegades el nombre de peus. 4 vegades el nombre de peus = 4f i tres més que això serà 4f + 3 Si el nombre de vegades que Nick pot llançar el beisbol és donat per x, llavors, l'expressió que es pot utilitzar per trobar el nombre de peus que Nick pot llençar la pilota serà: x = 4f +3

Com es poden trobar els tres primers termes d’una sèrie de Maclaurin per a f (t) = (e ^ t - 1) / t utilitzant la sèrie de Maclaurin d’e ^ x?

Sabem que la sèrie de Maclaurin d’ex x és sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!). També podem derivar aquesta sèrie utilitzant l'expansió de Maclaurin de f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) i el fet que totes les derivades de e ^ x siguin encara e ^ x i e ^ 0 = 1. Ara, simplement substituïu la sèrie anterior a (e ^ x-1) / x = (suma_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + suma (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Si voleu que l'índex comenci per i = 0, simplement substituïu n = i + 1:

Com s'utilitza la sèrie binomial per ampliar sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] M'agradaria bastant una doble comprovació perquè rarament com a estudiant de física superar (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx per x petit, així que estic una mica rovellat. La sèrie binomial és un cas especialitzat del teorema binomial que indica que (1 + x) ^ n = suma_ (k = 0) ^ (oo) ((n, (k)) x ^ k amb ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) El que tenim és (z ^ 2-1) ^ (1/2) , aquesta no és la forma correcta. Per rectificar això, recordeu que i ^ 2 = -1, de manera que tenim: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z