Com es multiplica (4 + 6i) (3 + 7i) en forma trigonomètrica?

Primer de tot hem de convertir aquests dos nombres en formes trigonomètriques.

Si # (a + ib) # és un nombre complex, # u # és la seva magnitud i # alfa # és llavors el seu angle # (a + ib) # en forma trigonomètrica s'escriu com #u (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitud d’un nombre complex # (a + ib) # es dóna per#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # i el seu angle es dóna per # tan ^ -1 (b / a) #

Deixar # r # ser la magnitud de # (4 + 6i) # i # theta # ser el seu angle.

Magnitud de # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Angle de # (4 + 6i) = Tan ^ -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = teta

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Deixar # s # ser la magnitud de # (3 + 7i) # i # phi # ser el seu angle.

Magnitud de # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Angle de # (3 + 7i) = Tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Ara,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isina (teta + phi)) #

Aquí tenim totes les coses presents, però si aquí substituïm directament els valors, la paraula seria desordenada per trobar #theta + phi # així que anem a descobrir primer # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Ho sabem:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 ((((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (teta + phi) + isina (teta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15)) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15)) #

Aquesta és la vostra resposta final.

També ho podeu fer per un altre mètode.

En primer lloc multiplicant els números complexos i després canviant-lo a la forma trigonomètrica, la qual cosa és molt més fàcil que això.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 + 46i

Ara canvia # -30 + 46i # en forma trigonomètrica.

Magnitud de # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Angle de # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

Com es multiplica e ^ ((3 pi) / 8 i) * e ^ (pi / 2 i) en forma trigonomètrica?

Bé, knkw que e ^ (itheta) = costheta + isintheta I que e ^ (itheta_1) * e ^ (itheta_2) = e ^ (i (theta_1 + theta_2)) = cos (theta_1 + theta_2) + isin (theta_1 + theta_2) (3pi) / 8 + pi / 2 = (7pi) / 8 cos ((7pi) / 8) + isincos ((7pi) / 8) = sqrt (2 + sqrt2) / 2 + sqrt (2-sqrt2) /2i~~0.92+0.38i

Com es multiplica e ^ ((2 pi) / 3 i) * e ^ (pi / 2 i) en forma trigonomètrica?

Cos ((7pi) / 6) + isin ((7pi) / 6) = e ^ ((7pi) / 6i) e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) e ^ (itheta_1) * e ^ (itheta_2) == cos (theta_1 + theta_2) + isin (theta_1 + theta_2) theta_1 + theta_2 = (2pi) / 3 + pi / 2 = (7pi) / 6 cos ((7pi) / 6) + isin ((7pi ) / 6) = e ^ ((7pi) / 6i)

Com es multiplica (2-3i) (- 3-7i) en forma trigonomètrica?

Primer de tot hem de convertir aquests dos nombres en formes trigonomètriques. Si (a + ib) és un nombre complex, u és la seva magnitud i alfa és el seu angle llavors (a + ib) en forma trigonomètrica s'escriu com u (cosalpha + isinalfa). La magnitud d'un nombre complex (a + ib) es dóna persqrt (a ^ 2 + b ^ 2) i el seu angle es dóna per tan ^ -1 (b / a) Sigui r la magnitud de (2-3i) i theta ser el seu angle. Magnitud de (2-3i) = sqrt (2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 = r Angle de (2-3i) = Tan ^ -1 (-3/2) = theta implica (2-3i) = r (Costheta + isintheta) Sigui s la magnitud