Si f (x) = x tan ^ -1then f (1) què és?

Resposta:

# f (1) # on #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4

Explicació:

Suposo que la pregunta és #f (1) # on #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normalment, el tractaria # arctan # com a multivalència. Però aquí amb la notació de funció explícita #f (x) # Diré que volem el valor principal de la tangent inversa. L’angle amb la tangent 1 al primer quadrant és # 45 ^ circ # o bé # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4

Aquest és el final. Però deixem de banda la pregunta i ens centrarem en què #arctan t # realment vol dir.

Normalment penso en #tan ^ -1 (t) # o equivalent (i crec que és millor la notació) #arctan (t) # com un expressió multivalència. La "funció" arctan no és realment una funció, ja que és la inversa d’alguna cosa periòdica, que realment no pot tenir una inversa sobre tot el seu domini.

Això és realment confús per als estudiants i els professors. De sobte tenim coses que semblen funcions que no són realment funcions. S'han entrat una mica sota el radar. Es necessiten noves regles per tractar-les, però mai no s’expliquen explícitament. La matemàtica comença a ser difusa quan no ho hauria de fer.

# x = arctan t # es considera millor les solucions #tan x = t. Hi ha un nombre comptable infinit d’ells, un per període. Té tangent període de #Pi# així que les solucions són #Pi# a part, que és on es troba el #pi k # prové de, sencer # k #.

Normalment escric el valor principal de la tangent inversa com Arctan, amb un capital A. Malauradament, Socratic continua "corregint". Ho faré aquí:

#t = tan x # té solucions

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad. per a sencer # k #.