Com es resol el sistema x ^ 2 + y ^ 2 = 9 i x-3y = 3?

Resposta:

Hi ha dues solucions a aquest sistema: els punts #(3,0)# i #(-12/5, -9/5)#.

Explicació:

Aquest és un problema interessant en el sistema d’equacions perquè produeix més d’una solució per variable.

Per què passa això és una cosa que ara podem analitzar. La primera equació, és la forma estàndard per a un cercle amb radi #3#. La segona és una equació lleugerament desordenada per a una línia. Neta, semblaria així:

#y = 1/3 x - 1 #

Per tant, naturalment, si tenim en compte que una solució a aquest sistema serà un punt on la línia i el cercle es creuen, no ens hauria de sorprendre saber que hi haurà dues solucions. Un quan la línia entra al cercle i una altra quan surt. Vegeu aquest gràfic:

gràfic {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Primer començarem manipulant la segona equació:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Podem inserir-lo directament a la primera equació per resoldre # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Evidentment, aquesta equació té dues solucions. Un per a #y = 0 # i un altre per # 9 + 5y = 0 # que significa #y = -9 / 5 #.

Ara podem resoldre el problema # x # en cadascun d’aquests # y # valors.

Si # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Si #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Així doncs, les nostres dues solucions són els punts: #(3,0)# i #(-12/5, -9/5)#. Si mirem cap enrere al gràfic, podeu veure que aquests corresponen clarament als dos punts en què la línia creuava el cercle.