# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # és de la forma # y ^ 2-2y + 1 # on #y = x ^ 3 #.
Aquesta fórmula quadràtica a # y # factors de la següent manera:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (i - 1) ^ 2 #
Tan # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Tan # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # no té factors lineals amb coeficients reals. Per comprovar aquest avís que és del formulari # ax ^ 2 + bx + c #, que té discriminació:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Ser negatiu, l’equació # x ^ 2 + x + 1 = 0 # no té arrels reals.
Una manera de comprovar la resposta és substituir un valor per # x # això no és una arrel en els dos costats i veurem si obtenim el mateix resultat:
Intenta # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Comparar:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Bé, això va funcionar!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # és bastant fàcil de factoritzar, ja que és un quadrat perfecte. Com puc saber això? És un trinomi en la forma # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, i tots els trinomis en aquesta forma són quadrats perfectes.
Aquest trinomi és el quadrat perfecte de # (x ^ 3 - 1) #. Per comprovar el meu treball, treballaré cap enrere:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Així doncs, aquest trinomi té factors de #1#, # x ^ 3 - 1 #, i # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
No obstant això, com em va apuntar, # (x ^ 3 - 1) # també té factors. Com és un binomi del formulari # a ^ 3 - b ^ 3 #, també es pot escriure com # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Tan, # (x ^ 3 - 1) # factors en # (x - 1) # i # (x ^ 2 + x + 1) #, que tots dos són primers.
Els factors de # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # són:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Més concretament, la factorització PRIME de # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # és:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
