La funció f (x) = sin (3x) + cos (3x) és el resultat de sèries de transformacions amb la primera traducció horitzontal de la funció sin (x). Quin d'ells descriu la primera transformació?

Resposta:

Podem obtenir el gràfic de # y = f (x) # de # ysinx # aplicant les següents transformacions:

• una traducció horitzontal de # pi / 12 # radians a l'esquerra

• un tram al llarg # Ox amb un factor d’escala de #1/3# unitats

• un tram al llarg # Oy # amb un factor d’escala de #sqrt (2) # unitats

Explicació:

Penseu en la funció:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Suposem que podem escriure aquesta combinació lineal de sinus i cosinus com a funció sinusoïdal desplaçada d'una sola fase, és a dir, suposem que tenim:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

En aquest cas comparant els coeficients de # sin3x # i # cos3x # tenim:

# Acos alpha = 1 i Asinalpha = 1 #

Al quadrat i afegint tenim:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2phapha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

En dividir tenim:

# tan alfa => alfa = pi / 4 #

Així podem escriure, #f (x) # en el formulari:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12))

Així podem obtenir el gràfic # y = f (x) # de # ysinx # aplicant les següents transformacions:

• una traducció horitzontal de # pi / 12 # radians a l'esquerra
• un tram al llarg # Ox amb un factor d’escala de #1/3# unitats
• un tram al llarg # Oy # amb un factor d’escala de #sqrt (2) # unitats

El que podem veure gràficament:

El gràfic de # y = sinx #:

gràfic {sinx -10, 10, -2, 2}

El gràfic de # y = sin (x + pi / 12) #:

gràfic {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

El gràfic de # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

gràfic {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

El gràfic de # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graf {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

I, finalment, el gràfic de la funció original per a la comparació:

gràfic {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}