Com es converteix r = 1 / (4 - costheta) en forma cartesiana?

Resposta:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Explicació:

Hey, Socratic: és realment necessari que ens digui que això es va fer fa 9 minuts? No m'agrada estar mentit. Digueu-nos que es va demanar fa dos anys i que ningú no ha pogut fer-ho encara. A més, què passa amb les preguntes amb frases sospitosament idèntiques que es fan des de múltiples llocs? Per no parlar de Santa Cruz, Estats Units? Hi ha gairebé segur que més d’un, encara que sento el que hi ha a Califòrnia en bon estat. La credibilitat i la reputació són importants, especialment en un lloc de tasques. No enganyeu a la gent. Enderriscar.

Quan es converteixen equacions de coordenades polars a rectangulars, la força bruta rectangular a la substitució de pols

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (i "/," x) quad #

rarament és el millor enfocament. (Indicant intencionalment la tangent inversa de quatre quadrats aquí, però no ens desviem).

Idealment, volem utilitzar les substitucions polars a rectangulars, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

Anem a mirar la pregunta.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Aquestes equacions polars generalment permeten negatives # r #, però aquí estem segurs # r # sempre és positiu.

#r (4 - cos theta) = 1

Crec que aquestes són el·lipses, que realment no importen, però ens dóna una idea del que esperem que sembli la forma rectangular. Volem apuntar a alguna cosa sense arrels quadrades ni arctangents # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # té arrels quadrades, però #rcos theta = x # no, així que ens ampliem.

# 4r - rcos theta = 1 #

Ara només substituïm; ho farem en passos.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Anem a quadrats ara. Sabem #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Aquesta és una el·lipse bastant circular. (Una constant menor que #4# a l’original donaria una el·lipse més excèntrica.) Podríem completar el quadrat per posar-lo en forma estàndard, però deixem-ho aquí.