Resposta:
Una el·lipse
Explicació:
Les còniques es poden representar com
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
on #p = {x, y} # i
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Per a les còniques #m_ {12} = m_ {21} # llavors # M # els valors propis són sempre reals perquè la matriu és simètrica.
El polinomi característic és
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
Depenent de les seves arrels, la cònica es pot classificar com
1) Igual --- cercle
2) El mateix signe i els diferents valors absoluts --- el·lipse
3) Signes diferents: hipèrbola
4) Una arrel nul·la --- paràbola
En el cas actual tenim
#M = ((4,0), (0,8)) #
amb polinomi característic
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
amb arrels #{4,8}# així que tenim una el·lipse.
Com que és una el·lipse hi ha una representació canònica
# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # es pot determinar de la manera següent
# 4 x ^ 2 + 8 i ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (i-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 forall x a RR #
donar
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):}
la solució que tenim
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0}
tan
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {{x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
