Què és el domini i el rang de f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Resposta:

El domini és # RR # (tots els nombres reals) i l’interval és # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72

(tots els números reals entre i inclosos) # (5-sqrt (61)) / 72 # i # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Explicació:

Al domini, comencem amb tots els nombres reals i, a continuació, eliminem qualsevol que ens obligés a tenir l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, o #0# en el denominador d'una fracció.

A simple vista, ho sabem # x ^ 2> = 0 # per a tots els nombres reals, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Així, no serà el denominador #0# per a qualsevol nombre real # x #, és a dir, el domini inclou tots els números reals.

Per al rang, la manera més senzilla de trobar els valors anteriors implica algun càlcul bàsic. Tot i que és més llarg, també és possible trobar-los utilitzant només àlgebra, però amb el mètode detallat a continuació.

Començant amb la funció #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # volem trobar tots els valors possibles de #f (x) #. Això equival a trobar el domini de la funció inversa # f ^ -1 (x) # (una funció amb la propietat # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1)

Malauradament, la inversa de #f (x) # en aquest cas no és una funció, ja que retorna 2 valors, però, la idea segueix sent la mateixa. Començarem amb l’equació #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # i resoldre per # x # per trobar la inversa. A continuació, analitzarem els possibles valors de # y # per trobar el domini de la inversa, i per tant el rang de la funció original.

Resolució de # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Tractar # y # com a constant, apliquem la fórmula quadràtica

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

obtenir

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Ara hem de trobar el domini de l’expressió anterior (tingueu en compte que no és una funció a causa de l’expressió anterior) #+-#). Tingueu en compte que dividint per # y # en la fórmula quadràtica, hem perdut la possibilitat de # y = 0 #, que és clarament possible en l’equació original (per #x = -5 #). Per tant, ignorarem el # y # en el denominador de la inversa, i només se centren en l'arrel quadrada.

Com es va esmentar anteriorment, no estem permetent l’arrel quadrada d'un valor inferior a 0, per la qual cosa tenim la restricció

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Utilitzant la fórmula quadràtica sobre # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # trobem, després d’una simplificació, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Finalment, podem dir-ho com # | y | # es fa gran, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # serà inferior a #0#. Així, només considerem l'interval entre

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # i #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Així doncs, els valors permesos de # y #, i per tant l’interval de #f (x) #, és

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72

El domini de f (x) és el conjunt de tots els valors reals excepte 7, i el domini de g (x) és el conjunt de tots els valors reals excepte -3. Què és el domini de (g * f) (x)?

Tots els nombres reals excepte 7 i -3 quan multipliqueu dues funcions, què fem? estem prenent el valor f (x) i el multipliquem pel valor g (x), on x ha de ser el mateix. No obstant això, ambdues funcions tenen restriccions, 7 i -3, de manera que el producte de les dues funcions ha de tenir restriccions * ambdues Normalment, quan es fan operacions en funcions, si les funcions anteriors (f (x) i g (x)) tenien restriccions, sempre es prenen com a part de la nova restricció de la nova funció o del seu funcionament. També podeu visualitzar-ho fent dues funcions racionals amb diferents valors restringits

Sigui el domini de f (x) [-2.3] i el rang sigui [0,6]. Què és el domini i el rang de f (-x)?

El domini és l'interval [-3, 2]. L’interval és l’interval [0, 6]. Exactament com és, això no és una funció, ja que el seu domini és només el número -2.3, mentre que el seu abast és un interval. Però suposant que això és només un error tipogràfic i el domini real és l’interval [-2, 3], s’observa a continuació: Sigui g (x) = f (-x). Atès que f requereix que la seva variable independent prengui valors només en l'interval [-2, 3], -x (x negatiu) ha d'estar dins de [-3, 2], que és el domini de g. Com que g obté e

Si la funció f (x) té un domini de -2 <= x <= 8 i un rang de -4 <= y <= 6 i la funció g (x) es defineix per la fórmula g (x) = 5f ( 2x)) llavors, quins són el domini i el rang de g?

Baix. Utilitzeu transformacions bàsiques de la funció per trobar el nou domini i el nou rang. 5f (x) significa que la funció està estirada verticalment per un factor de cinc. Per tant, el nou interval abastarà un interval que és cinc vegades més gran que l’original. En el cas de f (2x), s'aplica un tram horitzontal per un factor de la meitat a la funció. Per tant, les extremitats del domini es redueixen a la meitat. Et voilà!