Què és int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Resposta:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Explicació:

Aquesta explicació és una mica llarga, però no he pogut trobar una manera més ràpida de fer-ho …

La integral és una aplicació lineal, de manera que ja podeu dividir la funció sota el signe integral.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Els dos primers termes són funcions polinòmiques, de manera que són fàcils d’integrar. Et mostraré com fer-ho # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # tan # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Feu exactament el mateix amb # x ^ 3 #, el resultat és #255/4#.

Cerca #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # és una mica llarg i complicat. Primer multipliqueu la fracció per #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # i llavors canvieu la variable: diguem #u = sqrt (x-1) #. Tan # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # i ara heu de trobar # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Per trobar-lo, necessiteu la descomposició de la fracció parcial de la funció racional # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # amb # a, b, c, d a RR #. Després del càlcul, ho descobrim # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, el que significa que # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # és ben conegut, ho és #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Finalment, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (o) - u / (1 + u ^ 2) #

Canvieu # u # per la seva expressió original amb # x # tenir #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, el qual és #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Així, finalment, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #