Com es verifica la identitat següent?

Resposta:

Utilitzeu algunes identitats de trigonometria i moltes simplificacions. Mirar abaix.

Explicació:

Quan es tracta de coses com # cos3x #, ajuda a simplificar-lo a funcions trigonomètriques d’una unitat # x #; és a dir, alguna cosa així # cosx # o bé # cos ^ 3x #. Podem utilitzar la regla de suma per al cosinus per aconseguir això:

#cos (alpha + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Així doncs, des de llavors # cos3x = cos (2x + x) #, tenim:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sxxcosx) (sinx) #

Ara podem substituir # cos3x # amb l'expressió anterior:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sxxxx) (sinx)) / cosx = 1-4s ^ 2x #

Podem dividir aquesta fracció més gran en dues fraccions més petites:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sxxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4s ^ 2x #

Tingueu en compte com es cancel·len els cosinus:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) cancel·la (cosx)) / cancel (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4s ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Ara afegiu una # sin ^ 2x-sin ^ 2x # al costat esquerre de l’equació (que és el mateix que afegir #0#). El raonament d’aquest fet quedarà clar en un minut:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4s ^ ^ 2x

Reorganitzar els termes:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4s ^ ^ 2x #

Utilitzeu la identitat pitagòrica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # i combinar el # sin ^ 2x #s als parèntesis:

# 1- (4s ^ 2x) = 1-4s ^ ^ 2x

Podeu veure que el nostre petit truc per afegir # sin ^ 2x-sin ^ 2x # ens ha permès utilitzar la identitat pitagòrica i recopilar les dades # sin ^ 2x # termes.

I voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.