Quins són tots els valors de k per als quals int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

i

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # però

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # i

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # tan

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

o bé

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):}

llavors finalment

valors reals #k = {-2,2} #

valors complexos #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Resposta:

# k = + - 2 #

Explicació:

Necessitem:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integració obtenim:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 color (blanc) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Assumint que #k a RR # (en realitat hi ha #6# arrels, #4# dels quals són complexos

Ara, depenent del context del problema, es podria argumentar això #k <2 # (és a dir # k = -2 #) no és vàlid #k> = 2 # fer que el "propi" intern exclogui aquesta solució, però sense cap context és raonable incloure les dues solucions.

A més, tingueu en compte que #k = + - 2 # es podria demostrar que eren solucions sense realitzar realment cap integració.

En primer lloc, una propietat d’integrals definides és que:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

així podem establir immediatament # k = 2 # és una solució.

En segon lloc, # x ^ 5 # és un senar funció, i les funcions estranyes compleixen:

# f (-x) = f (x) #

i tenir simetria rotacional sobre l’origen. com a tal, si #f (x) # és estrany llavors:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0

així podem establir immediatament # k = -2 # és una solució.

La integració i els càlculs posteriors demostren que són les úniques solucions.