Com es resol un ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Així que tenim:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Restant 1/4 dels dos costats, obtenim:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Això no té solucions de nombres reals ja que el quadrat de qualsevol nombre real no és negatiu.

Si voleu solucions complexes, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

S'està afegint #sqrt (3/2) # a tots dos costats

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Començaria a aplicar la fórmula per resoldre equacions quadràtiques (de fet, es tracta d’una equació quadràtica en "a"):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) ((2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Com podeu veure, l’equació no té cap solució real, ja que té una arrel quadrada d'un nombre negatiu (#sqrt (-1) #).

• Per tant, si esteu treballant amb números reals, la resposta és que no n'hi ha #a a RR # el que fa # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Però si esteu treballant amb números complexos, hi ha dues solucions:

  # a_1 = (sqrt3 + i) / 2 # i # a_2 = (sqrt3-i) / 2 #.