Quina és la fórmula per trobar l'àrea dodecàgon normal?

Resposta:

#S _ ("dodecàgon normal") = (3 / (tan 15 ^ @)) "costat" ^ 2 ~ = 11.196152 * "costat" ^ 2 #

Explicació:

Pensant en un dodecàgon normal inscrit en un cercle, podem veure que està format per 12 triangles isòsceles els costats del qual són el radi del cercle, el radi del cercle i el costat del dodecàgon; en cadascun d'aquests triangles l'angle oposat al costat del dodecàgon és igual a #360^@/12=30^@#; l’àrea de cadascun d’aquests triangles és # (alçada "* lateral") / 2 #, només hem de determinar l’alçada perpendicular al costat del dodecàgon per resoldre el problema.

A l'esmentat triangle isòcel, la base de la qual és el costat del dodecàgon i els costats iguals del qual són els radis del cercle, l'angle oposat a la base (# alfa #) és igual a #30^@#, només hi ha una línia extreta del vèrtex en què es troben els radis del cercle (punt C) que intercepta perpendicularment al costat del dodecàgon: aquesta línia travessa l’angle # alfa # així com defineix l’altura del triangle entre el punt C i el punt en què la base s’intercepta (punt M), així com divideix la base en dues parts iguals (totes perquè els dos triangles més petits formats són congruents).

Atès que els dos triangles més petits esmentats són correctes, podem determinar l'alçada del triangle isòsceles d'aquesta manera:

#tan (alpha / 2) = "catet oposat" / "catet adjacent" => #tan (30 ^ @ / 2) = ("side" / 2) / "height" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Llavors ho tenim

#S_ (dodecàgon) = 12 * S_ (triangle) = 12 * (("costat") ("alçada") / 2 = 6 * ("costat") ("costat") / (2 * tan 15 ^ @)) # => #S_ (dodecàgon) = 3 * ("costat") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #