Quina és la integral de int tan ^ 4x dx?

Resposta:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Explicació:

La solució de les antiderivades trigonomètiques normalment implica trencar la integral per aplicar les identitats pitagòriques, i utilitzar una # u #-substitució. Això és exactament el que farem aquí.

Comenceu per la reescriptura # inttan ^ 4xdx # com # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Ara podem aplicar la identitat pitagòrica # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, o # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribució del # tan ^ 2x #:

#color (blanc) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Sol·licitud de la regla de suma:

#color (blanc) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Avaluarem aquestes integrals una per una.

Primera Integral

Aquest es resol utilitzant un # u #-substitució:

Deixar # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Aplicació de la substitució, #color (blanc) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (blanc) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Perquè # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Segon Integral

Ja no sabem què # inttan ^ 2xdx # és només mirar-lo, provar d'aplicar el # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identitat de nou:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Utilitzant la regla de suma, la integral es redueix a:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

La primera d’elles, # intsec ^ 2xdx #, és just # tanx + C #. La segona, l'anomenada "integral perfecta", és simplement # x + C #. Tot plegat, podem dir:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

I perquè # C + C # és només una altra constant arbitrària, podem combinar-la amb una constant general # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Combinant els dos resultats, tenim:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Una vegada més, perquè # C + C # és una constant, podem unir-los a un # C #.

Quina és la integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

(x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C El nostre gran problema en aquesta integral és l'arrel, així que volem desfer-nos-en. Ho podem fer introduint una substitució u = sqrt (2x-1). La derivada és llavors (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1). De manera que dividim (i recordem, dividint per un recíproc el mateix que multiplicar per només el denominador) per integrar-lo respecte a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 Ara, tot el que hem de fer és expressar x ^ 2 en terme

Quina és la integral de int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + i ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + i ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Primer substituïm: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Realitza un segona substitució: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv dividit utilitzant fraccions parcials: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2

Què és la integral de int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Sabent que tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, el podem reescriure com int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, que cedeix int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Primera integral: sigui u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Segona integral: sigui u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Per tant int u 3 du - 2int u du + int tan (x) dx Tingueu en compte que int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, donant-nos així 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Substituint u de nou a l'ex