Quina és la integral de int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Resposta:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + i ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + i ^ (2x)) - 1)) + + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Explicació:

Primer substituïm:

# u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Realitzeu una segona substitució:

# v ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

Divideix utilitzant fraccions parcials:

# 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# v = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# v = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1 / 2 #

Ara tenim:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) # #

# int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) dv = 1/2 -ln (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

Substitució de l’entrada # v = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (u) +1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + + sqrt (u) + C #

Substitució de l’entrada # u = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + i ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + i ^ (2x)) - 1)) + + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Quina és la integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

(x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C El nostre gran problema en aquesta integral és l'arrel, així que volem desfer-nos-en. Ho podem fer introduint una substitució u = sqrt (2x-1). La derivada és llavors (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1). De manera que dividim (i recordem, dividint per un recíproc el mateix que multiplicar per només el denominador) per integrar-lo respecte a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 Ara, tot el que hem de fer és expressar x ^ 2 en terme

Quina és la integral de int (3x + 1) / (2x ^ 2 -6x +5)) dx?

Vegeu la resposta següent:

Quina és la integral de l'int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Podem utilitzar la substitució per eliminar cos (x). Per tant, fem servir el pecat (x) com a font. u = sin (x) El que significa que obtindrem, (du) / (dx) = cos (x) La cerca dx donarà, dx = 1 / cos (x) * du Ara substituint la integral original amb la substitució, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Podem cancel·lar cos (x) aquí, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Ara s'estableix per u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C