Pregunta # 35a7e

Resposta:

Com es va esmentar en els comentaris següents, aquesta és la sèrie de MacLaurin #f (x) = cos (x) #, i sabem que això convergeix # (- oo, oo) #. Tanmateix, si voleu veure el procés:

Explicació:

Com que tenim un factor en el denominador, fem servir el prova de relació, ja que això facilita les simplificacions. Aquesta fórmula és:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Si és <1, la vostra sèrie convergeix

Si és> 1, la vostra sèrie divergeix

Si és = 1, la prova no és concloent

Per tant, fem això:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Nota: Aneu amb molta cura a com connecteu el vostre (k + 1). 2k es convertirà en 2 (k + 1), NOT 2k + 1.

He multiplicat pel recíproc de # x ^ (2k) / ((2k)!) # en comptes de dividir-se només per facilitar la feina.

Ara, anem a l'àlgebra. A causa del valor absolut, els nostres termes alternatius (per exemple, # (- 1) ^ k #) Només anem a cancel·lar, ja que sempre tindrem una resposta positiva:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Podem cancel·lar la nostra # x ^ (2k) #s:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Ara hem de cancel·lar els factorials.

Recordeu-ho # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

A més, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Avís:

# (2k)! = color (vermell) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * color (vermell) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Com podeu veure, nosaltres # (2k)! # és essencialment una part de # (2k + 2)! #. Podem utilitzar això per cancel·lar cada terme comú:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Cancel·la (color (vermell) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * cancel·lar (color (vermell) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Això surt

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Ara, podem avaluar aquest límit. Tingueu en compte que, ja que no estem prenent aquest límit respecte a # x #, ho podem diferenciar:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0

Així, com podeu veure, aquest límit = 0, que és inferior a 1. Ara, ens preguntem: hi ha algun valor de # x # per a què aquest límit seria 1? I la resposta és no, ja que qualsevol cosa multiplicada per 0 és 0.

Així doncs, des de llavors #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # per a tots els valors de # x #, podem dir que té un interval de convergència de # (- oo, oo) #.

Espero que t'hagi ajudat:)