Com es pot calcular això? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Exemple

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Desafortunadament, la funció dins de la integral no s'integrarà a una cosa que no es pot expressar en termes de funcions elementals. Haureu d’utilitzar mètodes numèrics per fer-ho.

Puc mostrar-vos com utilitzar una expansió de sèrie per obtenir una valor aproximat.

Comenceu amb la sèrie geomètrica:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ o ^ n # per # rlt1 #

Ara s'integren respecte a # r # i utilitzant els límits #0# i # x # per obtenir això:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integració del costat esquerre:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Ara integreu el costat dret integrant el terme per terme:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Per tant, es dedueix que:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Ara dividiu per # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Així doncs, ara tenim l’expressió de la sèrie de potències per a la funció amb la qual vam començar originalment. Finalment, podem tornar a integrar-nos per obtenir:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

La integració de la part dreta del terme per terme ens dóna:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

L’avaluació dels límits de quatre termes ens donarà un valor aproximat:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Ara, només hi ha quatre termes. Si voleu un número més precís, només cal que utilitzeu més termes de la sèrie. Per exemple, anar al 100è mandat:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Com a banda, si treballeu amb el mateix procés, però utilitzeu la notació de sumació (és a dir, amb sigma gran en comptes d’escriure els termes de la sèrie), trobareu que:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

que és només la funció de Riemann-Zeta de 2, és a dir:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

De fet, ja coneixem el valor d’aquest fet: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Per tant, es pot deduir que el valor exacte de la integral és:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #