Quina és l’equació de la línia tangent a f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x a x = sqrtpi?

Resposta:

L’equació és aproximadament:

#y = 3.34x - 0.27 #

Explicació:

Per començar, hem de determinar #f '(x) #, de manera que sàpiguem quina és la pendent de #f (x) # està en qualsevol punt, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx i ^ x sin ^ 2 (x) #

utilitzant la regla del producte:

#f '(x) = (d / dx i ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Són derivats estàndard:

# d / dx i ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Així, el nostre derivat es converteix en:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Inserció del document donat # x # valor, la inclinació a #sqrt (pi) # és:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) # #

Aquesta és la pendent de la nostra línia al punt # x = sqrt (pi) #. A continuació, podem determinar l’interconnexió i establint:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Això ens proporciona l’equació no simplificada de la nostra línia:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Resoldre per b, acabem amb la fórmula complicada:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) # #

Així que la nostra línia acaba sent:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + i ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Si realment calculem el que equivalen aquests coeficients molestos, acabem amb la línia aproximada:

#y = 3.34x - 0.27 #