Comencem amb la funció sense # m:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Segurament aquesta funció # x = 0 # com a arrel, ja que teníem en compte # x #.
Les altres arrels són solucions de # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, però aquesta paràbola no té arrels. Això vol dir que el polinomi original només té una arrel.
Ara, un polinomi #p (x) # de grau senar sempre té almenys una solució, perquè ho tens
#lim_ {x - infty} p (x) = - i #lim_ {x a infty} p (x) = infty #
i #p (x) # és continu, de manera que ha de travessar el # x # eix en algun moment.
La resposta prové dels dos resultats següents:
- Un polinomi de grau # n # té exactament # n # arrels complexes, però com a màxim # n # arrels reals
- Donat el gràfic de #f (x) #, el gràfic de #f (x) + k # té la mateixa forma, però està traduïda verticalment (cap amunt si #k> 0 #, cap avall en cas contrari).
Per tant, partim # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, que té només una arrel real (i per tant dues arrels complexes) i la transformem en # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, el que significa que el traduïm cap amunt o cap avall, de manera que no canviem el nombre de solucions.
Alguns exemples:
Funció original: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
gràfic {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Tradueix cap amunt: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
gràfic {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Traduir cap avall: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
gràfic {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Com podeu veure, sempre hi ha una arrel
Resposta:
Mirar abaix
Explicació:
Una solució alternativa, potser més elegant:
el derivat del vostre polinomi és # 3x ^ 2-4x + 2 #, que és una paràbola còncava sense arrels i, per tant, sempre positiva. Tan, # f # és:
- Augment monòton
- #lim_ {x a pm) infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Els dos primers punts mostren això # f # té exactament una arrel, i la tercera que les altres dues arrels són complexes.
