Resposta:
L’equació de paràbola és # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Explicació:
Com a eix de simetria és # x + y + 1 = 0 # i l’atenció se centra en ell, si l’abscessa del focus és # p #, ordenada és # - (p + 1) # i les coordenades del focus són # (p, - (p + 1)) #.
A més, la directriu serà perpendicular a l'eix de simetria i la seva equació seria de la forma # x-y + k = 0 #
Com que cada punt de la paràbola és equidistant del focus i de la directriu, la seva equació serà
# (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2
Aquesta paràbola travessa #(0,0)# i #(0,1)# i per tant
# p ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) i
# p ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 …………………(2)
Restant (1) de (2), obtenim
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, que dóna # k = -2p-5/2 #
Això redueix l’equació de paràbola a # (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-i-2p-5/2) ^ 2/2
i quan passa #(0,0)#, obtenim
# p ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # o bé # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
és a dir. # 6p = -17 / 4 # i # p = -17 / 24 #
i per tant # k = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
i equació de paràbola com
# (x + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-i-13/12) ^ 2/2 # i multiplicant per #576=24^2#, obtenim
o bé # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
o bé # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
o bé # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
o bé # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
gràfic {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11.42, 8.58, -2.48, 7.52}
