Pregunta # c7520

Resposta:

Utilitzeu la identitat de doble angle per al sinus i el cercle unitari per trobar solucions de # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, i # (3pi) / 2 #.

Explicació:

En primer lloc, fem servir la identitat important # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Ara podem provar # costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

I utilitzant la propietat zero del producte, obtenim solucions de:

# costheta = 0 "i" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Així, quan ho fa # costheta = 0 # en l’interval # -pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? Les solucions es poden trobar utilitzant el cercle unitari i una propietat de la funció cosinus:

#cos (-theta) = costheta #

Si # theta = pi / 2 #, llavors:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Des del cercle unitari, ho sabem #cos (pi / 2) = 0 #, que també significa #cos (-pi / 2) = 0; per tant, hi ha dues solucions # -pi / 2 # i # pi / 2 #. A més, el cercle unitari ho explica #cos ((3pi) / 2) = 0, així que tenim una altra solució allà.

Ara, a # sintheta = 1/2 #. De nou, necessitarem el cercle unitari per trobar les nostres solucions.

Sabem des del cercle d’unitats que #sin (pi / 6) = 1/2 #, i #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, així que afegim # pi / 6 # i # (5pi) / 6 # a la llista de solucions.

Finalment, posem totes les nostres solucions junts: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, i # (3pi) / 2 #.

El cercle d'unitat