Resposta:
Convergeix absolutament.
Explicació:
Utilitzeu la prova per a la convergència absoluta. Si prenem el valor absolut dels termes que obtenim la sèrie
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Aquesta és una sèrie geomètrica de relació comuna #1/4#. Així convergeix. Des de tots dos # | a_n | # convergeix # a_n # convergeix absolutament.
Esperem que això ajudi!
Resposta:
# "És una sèrie geomètrica senzilla i convergeix absolutament amb" # # "suma" = 16/5 = 3,2 ".
Explicació:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", sempre que | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Agafeu" a = -1/4 ", llavors"
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Ara, la nostra sèrie és quatre vegades més gran que el primer terme." #
# "Així la nostra sèrie" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Resposta:
La sèrie geomètrica convergeix absolutament, amb
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Explicació:
Aquesta sèrie és sens dubte una sèrie alterna; tanmateix, també sembla geomètric.
Si podem determinar la proporció comuna compartida per tots els termes, la sèrie estarà en el formulari
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
On? # a # és el primer terme i # r # és la relació comuna.
Haurem de trobar la suma utilitzant el format anterior.
Dividiu cada terme pel terme que hi ha per determinar la proporció comuna # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Per tant, aquesta sèrie és geomètrica, amb la relació comuna # r = -1 / 4 #, i el primer terme # a = 4. #
Podem escriure la sèrie com
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Recordeu que hi ha una sèrie geomètrica #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # converge a # a / (1-r) # si # | r | <1 #. Així, si convergeix, també podem trobar el seu valor exacte.
Aquí, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, de manera que la sèrie convergeix:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Ara, determinem si convergeix absolutament.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Elimina el terme negatiu alternatiu:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Preneu el valor absolut, fent que el terme negatiu alternatiu s’esvaeixi:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Així, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Nosaltres veiem # | r | = 1/4 <1 #, així que encara tenim convergència:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
La sèrie convergeix absolutament, amb
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
