Resoldre ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Resposta:

Un esbós ràpid …

Explicació:

Donat:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # amb #a! = 0 #

Això es torna molt desordenat, de manera que només donaré un esbós d’un mètode …

Multiplicar per # 256a ^ 3 # i substitueix #t = (4ax + b) # per obtenir un monic deprimit quàrtic de la forma:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Tingueu en compte que com que no hi ha cap terme a # t ^ 3 #, ha de tenir en compte el formulari:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-A + B) (t ^ 2 + A + C) #

#color (blanc) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Igualant els coeficients i reordenant una mica, tenim:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):}

Així que trobem:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (blanc) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (blanc) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplicant, multiplicant per # A ^ 2 # i reordenant lleugerament, això es converteix en:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Això "cúbic in # A ^ 2 #"té almenys una arrel real. Idealment té una arrel real positiva que produeix dos possibles valors reals per a # A #. Independentment, qualsevol arrel del cúbic ho farà.

Donat el valor de # A #, tenim:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Per tant, obtenim dos quadràtics per resoldre.