Els radis de dos cercles concèntrics són de 16 cm i 10 cm. AB és un diàmetre del cercle més gran. BD és tangent al cercle més petit que el toca a D. Quina és la longitud d’AD?

Resposta:

#bar (AD) = 23.5797 #

Explicació:

Adoptar l’origen #(0,0)# com a centre comú # C_i # i # C_e # i trucant # r_i = 10 # i # r_e = 16 # el punt de tangència # p_0 = (x_0, y_0) # es troba a la intersecció #C_i nn C_0 # on

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

aquí # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Resolució de #C_i nn C_0 # tenim

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):}

Restant el primer de la segona equació

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # tan

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # i # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Finalment, la distància desitjada és

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

o bé

#bar (AD) = 23.5797 #

Explicació:

Si #bar (BD) # és tangent a # C_i # llavors #hat (ODB) = pi / 2 # de manera que podem aplicar pitàgores:

#bar (OD) ^ 2 + barra (DB) ^ 2 = barra (OB) ^ 2 # determinar # r_0 #

# r_0 ^ 2 = barra (OB) ^ 2-barres (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

El punt # D # coordenades anomenades # (x_0, y_0) # s'ha d’obtenir abans de calcular la distància desitjada #bar (AD) #

Hi ha moltes maneres de fer això. Un mètode alternatiu és

# y_0 = bar (BD) sin (hat (OBD)) però #sin (hat (OBD)) = barra (OD) / barra (OB) #

llavors

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # i

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Segons les dades donades, es dibuixa la figura anterior.

O és el centre comú de dos cercles concèntrics

#AB -> "diàmetre del cercle més gran" # #

# AO = OB -> "radi del cercle més gran" = 16 cm

#DO -> "radi del cercle més petit" = 10 cm

#BD -> "tangent al cercle més petit" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Deixar # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

In #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Aplicació de la llei de cosinus a #Delta ADO # obtenim

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58cm #