Per què treballen els polinomis de factoring agrupant?

Funciona per a alguns polinomis però no per a altres. Sobretot, funciona per a aquest polinomi perquè el professor, o autor, o fabricant de proves, va triar un polinomi que es podia tenir en compte d'aquesta manera.

Exemple 1

Factor: # 3x ^ 3 + 6x ^ 3-5x-10 #

Agrupo els dos primers termes i faig un factor comú d’aquests dos termes:

# (3x ^ 3 + 6x ^ 2) -5x-10 = 3x ^ 2 (x + 2) -5x-10 #

Ara agafo factors comuns en els altres dos termes. Si tinc temps monòmic # (x + 2) # llavors el factoring per agrupació funcionarà. Si tinc alguna cosa més, no funcionarà.

Hi ha un factor comú de # (- 5x-10) # és #-5#. Prenent aquest factor a les fulles # -5 (x + 2) # de manera que sabem que el factoring per agrupació funcionarà.

# 3x ^ 3 + 6x ^ 2-5x-10 = (3x ^ 3 + 6x ^ 2) + (- 5x-10) #

# = 3x ^ 2 (x + 2) -5 (x + 2) #.

Ara tenim dos termes amb un factor comú # C # on # C = (x-2) #. Així ho tenim # 3x ^ 2C-5C = (3x-5) C #

És a dir: tenim # (3x ^ 2-5) (x + 2) #

Ens aturarem allà si només volem utilitzar els coeficients sencers (o racionals).

Exemple 2

Factor: # 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 #

# 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 = (4x ^ 3-10x ^ 2) + 6x + 15 #

# = 2x ^ 2 (2x-5) + 6x + 15 #

Ara, si tenim un factor comú # 6x + 15 # i aconseguir temps monomials # (2x-5) #, llavors podem acabar el factoring agrupant-los. Si aconseguim alguna cosa més, el factoring per agrupació no funcionarà.

En aquest cas ho aconseguim # 6x + 15 = 3 (2x + 5) #. Gairebé !, però el tancament no funciona a l’agrupament. Per tant, no podem acabar això agrupant-lo.

Exemple 3 Feu el treball del fabricant de proves.

Vull un problema que es pugui incorporar a l’agrupació.

Començo amb # 12x ^ 3-28x ^ 2 # Per tant, si es pot tenir en compte mitjançant l’agrupament, quina ha de ser la resta?

Ha de ser un temps monomial # (3x-7) #.

Així que acabem amb # 6x-14 # funcionaria, o # 15x-35 #, o podria ser complicat i usat # -9x + 21 #. De fet, QUALSEVOL nombre de vegades # (3x-7) # afegit al que ja tinc, em donarà un polinomi que es pot tenir en compte mitjançant l’agrupament.

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + k3x-k7 # per ningu # k # es pot tenir en compte com:

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + 3kx-7k = 4x ^ 2 (3x-7) + k (3x-7) = (4x ^ 2 + k) (3x-7) #

Nota final: # k = -1 # o bé # k = -9 # faria bones decisions. Perquè llavors el factor prim és una diferència de 2 quadrats i es pot tenir en compte.