Quina és l’arrel quadrada de sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Resposta:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-i ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

ha proporcionat almenys dos dels detalls següents:

# x ^ 2> = i ^ 2 "" i ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Explicació:

Tingues en compte que:

# (x ^ 2-y ^ 2) + (i ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = color (vermell) (cancel·lar (color (negre) (x ^ 2))) - color (vermell) (cancel·lar (color (negre) (x ^ 2)) + color (morat) (cancel·lar (color (negre)) (y ^ 2))) - color (porpra) (cancel·lar (color (negre) (y ^ 2))) + color (violeta) (cancel·lar (color (negre) (z ^ 2))) - color (violeta)) (cancel·la (color (negre) (z ^ 2))) = 0

Així doncs, vegem què passa quan ens fixem:

#sqrt (x ^ 2-i ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

ja que els termes quadrats s'anul·laran …

# (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (i ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-i ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = color (vermell) (cancel·la (color (negre) ((x ^ 2-y ^ 2) + (i ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-i ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-i ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-i ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Així l’arrel quadrada que volem és:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-i ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#color (blanc) () #

Notes

La resposta anterior assumeix més o menys que:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Mentre que això es manté si almenys un de #a, b # no és negatiu, falla si tots dos són negatius.

Això pot passar a la derivació anterior si, per exemple:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Llavors trobem:

#sqrt (x ^ 2-i ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… el signe contrari del que necessitem.