La senyora Fox li va preguntar a la classe que era la suma de 4,2 i arrel quadrada de 2 racionals o irracionals? Patrick va respondre que la suma seria irracional. Indiqueu si Patrick és correcte o no és correcte. Justifica el teu raonament.

Resposta:

La suma # 4.2 + sqrt2 # és irracional; hereta la propietat d'expansió decimal no repetitiva de #sqrt 2 #.

Explicació:

An nombre irracional és un nombre que no es pot expressar com una relació de dos enters. Si un nombre és irracional, llavors la seva expansió decimal continua per sempre sense un patró i viceversa.

Ja ho sabem #sqrt 2 # és irracional. La seva expansió decimal comença:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

El nombre #4.2# és racional; es pot expressar com #42/10.# Quan afegim 4.2 a l’expansió decimal de #sqrt 2 #, obtenim:

#sqrt 2 + 4.2 = color (blanc) + 1.414213562373095 … #

#color (blanc) (sqrt 2) color (blanc) + color (blanc) (4.2 =) + 4.2 #

#color (blanc) (sqrt 2) color (blanc) + color (blanc) (4.2 =) barra (color (blanc) (+) 5.614213562373095 …) #

Es veu fàcilment que aquesta suma tampoc no acaba ni té un patró repetitiu, de manera que també és irracional.

En general, la suma d'un nombre racional i un nombre irracional serà sempre irracional; l'argument és similar a l'anterior.

Resposta:

#color (blau) ("correcte") #

Explicació:

Si comencem dient que la suma és racional: tots els nombres racionals es poden escriure com el quocient de dos enters # a / bcolor (blanc) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

El producte de dos enters és un enter:

La diferència de dos enters és un enter:

Tan:

# 5a-21b # és un nombre enter.

# 5b # és un nombre enter.

Per tant:

# (5a-21b) / (5b) # és racional.

Però ho sabem #sqrt (2) # és irracional, de manera que es tracta d’una contradicció de la nostra hipòtesi que la suma era racional, per tant la suma d’un nombre irracional i un nombre racional és sempre irracional.