Quin és el límit a mesura que x s'apropa a l'infinit de (ln (x)) ^ (1 / x)?

És molt senzill. Heu de fer servir el fet

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Llavors, ho sabeu

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

I llavors, passa la part interessant que es podria resoldre de dues maneres: utilitzar la intuïció i utilitzar matemàtiques.

Comencem per la intuïció.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("alguna cosa menor que x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Pensem per què és així?

Gràcies a la continuïtat de # e ^ x # funció que podem moure:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Per avaluar aquest límit #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, podem utilitzar la regla de l'Hospital que indica:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Per tant, quan comptem amb derivats, obtenim:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Com a derivats # 1 / (xln (x)) # per a nominador i #1# per al denominador.

Aquest límit és fàcil de calcular tal com és # 1 / infty # tipus de límit que és zero.

Per tant, ho veieu

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

I això vol dir #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # també.

Quin és el límit a mesura que x s'apropa a l'infinit de lnx?

En primer lloc, és important dir que oo, sense cap signe al davant, seria interpretat com a tots dos, i és un error! L’argument d’una funció logarítmica ha de ser positiu, de manera que el domini de la funció y = lnx és (0, + oo). Així: lim_ (xrarr + oo) lnx = + oo, tal com mostra el gràfic. gràfic {lnx [-10, 10, -5, 5]}

Quin és el límit de ((1) / (x)) - ((1) / (e ^ (x) -1)) a mesura que x s'apropa a l'infinit?

Si dos límits sumats individualment s'apropen a 0, tot s’acosta a 0. Utilitzeu la propietat que els límits distribueixen sobre la suma i la resta. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) El primer límit és trivial; 1 / "gran" ~~ 0. El segon us demana que sàpiga que e ^ x augmenta a mesura que x augmenta. Per tant, com x-> oo, e ^ x -> oo. => color (blau) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - cancel (1) ^ "petit") = 0 - 0 = color (blau) (0)

Quin és el límit a mesura que x s'apropa a l'infinit de (1 + a / x) ^ (bx)?

Utilitzant el logaritme i la regla de l'Hopital, lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab}. Utilitzant la substitució t = a / x o equivalentment x = a / t, (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} utilitzant propietats logarítmiques, = e ^ {l [(1 + t) ^ {{ab} / t}]} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {l (1 + t)} / t} Per la regla de l'Hopital, lim_ {t a 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t a 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 per tant, lim_ { x a infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t a 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} (Nota: t a 0 com x a infty)