Resol la pregunta 39?

Resposta:

B

Explicació:

En primer lloc, hem d’utilitzar el fet que els números han de ser consecutius, trucant als números que escollim # n-1, n, n + 1 #, on si ens atenim a les restriccions # n # ha d’estar entre #-9# i #9# inclusiu.

En segon lloc, tingueu en compte que si obtenim un valor determinat per a un determinat # a, b, c #, podem canviar els valors específics, però obtenim el mateix resultat. (Crec que això es diu que és permeable, però oblideu el terme adequat)

Per tant, simplement ho podem deixar # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, ara ho connectem:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Ara el nostre problema es fa per veure quins són els valors de # -9 <= n <= 9 # l’expressió dóna valors sencers, quants valors diferents obtenim.

Seguiré la solució en una resposta separada només perquè sigui més fàcil de llegir.

Resposta:

Part 2 del meu sol'n. Això farà servir l’aritmètica modular, però si no esteu familiaritzat amb ell, sempre hi ha l’opció de subordinar tots els valors necessaris de # n #

Explicació:

Com que l’expressió ha de ser un valor sencer, la part inferior ha de dividir exactament la part superior. Per tant, el numerador hauria de tenir un factor de 3. I per a això hem d’utilitzar l’aritmètica modular.

Examineu per a què satisfaci n: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Ara treballa en cas:

1. Provem # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, que no funciona

2. Provem # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, que funciona

3. Provem # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, que no funciona

Així, deduïm això # n # ha de ser de la forma # 3k + 1 #, o un més que un múltiple de 3. Considerant el nostre rang per a n, ser # -9 <= n <= 9 #, tenim els possibles valors de:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

En aquest punt és possible que pugueu utilitzar el fet que # n = 3k + 1 #, però amb només 6 valors per comprovar, vaig decidir calcular cadascun d’ells i l’únic valor de # n # això funciona # n = 1 #, produint el resultat de #1#.

Per tant, finalment, l’únic conjunt de números consecutius que produeix un resultat sencer és #0,1,2#, donant #1# per tant, la resposta és # B #