Sigui G un grup i H G.Proveu que l’únic cos dret d’H en G que és un sub-ordre de G és el mateix H?

Resposta:

Assumint la pregunta (tal com es narra amb els comentaris):

Deixar # G # ser un grup i # H. Demostreu que l’únic cos dret de # H # in # G # que és un subgrup de # G # és # H # ell mateix.

Explicació:

Deixar # G # ser un grup i # H. Per a un element #g en G #, el coset dret de # H # in # G # es defineix com:

# => Hg = {hg: h en H} #

Assumim això #Hg. A continuació, l'element d'identitat #e a Hg #. Tanmateix, ho sabem necessàriament #e en H #.

Des de # H # és un coset dret i dos cosets dret han de ser idèntics o disjunts, podem concloure #H = Hg #

=================================================

En cas que no estigui clar, provem una prova que elimini els símbols.

Deixar # G # ser un grup i deixar-ho # H # ser un subgrup de # G #. Per a un element # g # pertanyent a # G #, anomenada # Hg # el coset dret de # H # in # G #.

Suposem que el coset correcte # Hg # és un subgrup de # G #. A continuació, l'element d'identitat # e # pertany a # Hg #. Tanmateix, ja sabem que l’element identitari # e # pertany a # H #.

Dos cosets drets han de ser idèntics o disjunts. Des de # H # és un coset dret, # Hg # és un coset dret, i tots dos contenen # e #, no poden ser disjunts. Per tant, # H # i # Hg # ha de ser idèntica, o #H = Hg #