Quina és l'àrea d’un trapezoide les diagonals de les quals són 30 i l’altura de la qual és 18?

Resposta:

#S_ (trapezoïdal) = 432 #

Explicació:

Penseu en la figura 1

En un trapezoïdal ABCD que satisfà les condicions del problema (on # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, i AB és paral·lela al CD), observem aplicant el Teorema dels Angles Interiors Alternatius, això # alpha = delta # i # beta = gamma #.

Si dibuixem dues línies perpendiculars al segment AB, formant segments AF i BG, podem veure-ho #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (perquè els dos triangles són correctes i sabem que la hipotenusa d’un és igual a la hipotenusa de l’altra i que una cama d’un triangle és igual a una cama de l’altre triangle) # alpha = beta # => # gamma = delta #.

Des de # gamma = delta # ho veiem #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # i # AD = BC #, per tant, el trapezi és isòsceles.

També ho podem veure #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (o # x = y # a la figura 2).

Penseu en la figura 2

Podem veure que el trapezi de la figura 2 té una forma diferent a la de la figura 1, però ambdues satisfan les condicions del problema. Vaig presentar aquestes dues xifres per mostrar que la informació del problema no permet determinar les mides de la base 1 (# m) i de la base 2 (# n #) del trapezoide, però veurem que no necessita més informació per calcular l’àrea del trapezi.

In #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Des de # n = m + x + y # i # x = y # => # n = m + 2 * x # i # m + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 => # m + n = 48 #

#S_ (trapezoïdal) = (base_1 + base_2) / 2 * alçada = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Nota: podríem provar de determinar m i n conjugant aquestes dues equacions:

In #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

In #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # perquè #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Però, resolent aquest sistema de dues equacions, només ho descobriríem m i el costat AD són indeterminats.