Què representa la velocitat instantània d'un gràfic?

Sempre que la gràfica tingui una distància en funció del temps, la inclinació de la línia tangent a la funció en un punt donat representa la velocitat instantània en aquest punt.

Per tenir una idea d’aquesta pendent, s’ha d’utilitzar límits. Per exemple, suposem que se li dóna una funció de distància #x = f (t) #, i es vol trobar la velocitat instantània, o la taxa de canvi de distància, en el punt # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, ajuda a examinar primer un altre punt proper, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, on? # a # és certa constantment arbitràriament petita. El pendent de la línia secant passar per la gràfica en aquests punts és:

# f (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Com # p_1 # enfocaments # p_0 # (que es produirà com a la nostra.) # a # disminueix), el que hem exposat anteriorment #diferència # quocient s'aproparà a un límit, aquí designat # L #, que és el pendent de la línia tangent en el punt donat. En aquest punt, una equació de pendent puntual usant els punts anteriors pot proporcionar una equació més exacta.

Si, en canvi, està familiaritzat diferenciació, i la funció és alhora continu i diferenciable al valor donat de # t #, llavors podem simplement diferenciar la funció. Tenint en compte que la majoria de funcions de distància són funcions polinòmiques, del formulari #x = f (t) = a ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # es poden diferenciar utilitzant el regla de potència que indica que per a una funció #f (t) = a ^ n, (df) / dt # (o #f '(t) #) = # (n) a ^ (n-1) #.

Per tant, per a la nostra funció polinòmica general anterior, #x '= f' (t) = (n) a ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + i # (Tingueu en compte que des de #t = t ^ 1 # (ja que qualsevol nombre elevat a la primera potència és igual), la reducció de la potència per 1 ens deixa # t ^ 0 = 1 #, per tant, per què el terme final és simplement # y #. Tingueu en compte també que el nostre # z # el terme, sent una constant, no va canviar pel que fa a # t # i, per tant, es va rebutjar en la diferenciació).

Això #f '(t) # és la derivada de la funció de distància respecte al temps; per tant, mesura la taxa de canvi de distància respecte al temps, que és simplement la velocitat.