Quin és el mètode d'expansió del cofactor per trobar el determinant?

Hola !

Deixar #A = (a_ {i, j}) # ser una matriu de mida #n vegades n #.

Trieu una columna: el número de columna # j_0 # (Escric: "el # j_0 #-a la columna ").

El fórmula d'expansió del cofactor (o la fórmula de Laplace) per al # j_0 #la columna és la

# det (A) = suma _ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

on # Delta_ {i, j_0} # és el determinant de la matriu # A # sense ella # i #-la línia i la seva # j_0 #1ª columna; tan, # Delta_ {i, j_0} # és un determinant de la mida # (n-1) vegades (n-1) #.

Tingueu en compte que el nombre # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # es diu cofactor de lloc # (i, j_0) #.

Potser sembla complicat, però és fàcil d'entendre amb un exemple. Volem calcular-lo # D #:

Si desenvolupem la 2a columna, obtindreu

tan:

Finalment, # D = 0 #.

Per ser eficaç, heu de triar una línia que tingui molts zeros: la suma serà molt senzilla de calcular!

Observació. Perquè # det (A) = det (A ^ {T}) #, també podeu triar una línia més aviat una columna. Per tant, la fórmula es converteix

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

on # i_0 # és el nombre de la línia seleccionada.