Quina és l'arrel quadrada de 90?

Resposta:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Explicació:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # és un nombre irracional en algun punt #sqrt (81) = 9 # i #sqrt (100) = 10 #.

De fet, des de llavors #90 = 9 * 10# és de la forma #n (n + 1) # té una expansió regular continuada de la fracció del formulari # n; barra (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; barra (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…))))))))

Una manera divertida de trobar aproximacions racionals és utilitzar una seqüència sencera definida per una recurrència lineal.

Considerem l’equació quadràtica amb zeros # 19 + 2sqrt (90) # i # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (blanc) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (blanc) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (blanc) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Tan:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Utilitzeu això per obtenir una seqüència:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):}

Els primers termes d’aquesta seqüència són:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

La relació entre termes successius tendeix a # 19 + 2sqrt (90) #

Per tant:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #