La fracció continuada funcional (FCF) de classe exponencial es defineix per a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. En establir a = e = 2.718281828 .., com demostrar que e_ (cf) (0,1; 1) = 1.880789470, gairebé?

Resposta:

Vegeu l'explicació …

Explicació:

Deixar #t = a_ (cf) (x; b) #

Llavors:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

En altres paraules, # t # és un punt fix del mapatge:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Tingueu en compte que per si mateix, # t # sent un punt fix de #F (t) # no és suficient per demostrar-ho #t = a_ (cf) (x; b) #. Pot haver-hi punts fixos inestables i estables.

Per exemple, #2016^(1/2016)# és un punt fix de #x -> x ^ x #, però no és una solució # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …)) = 2016 # (No hi ha cap solució).

No obstant això, considerem #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # i #t = 1.880789470 #

Llavors:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Així que aquest valor de # t # està molt a prop d’un punt fix de #F_ (a, b, x) #

Per demostrar que és estable, considereu la derivada propera # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) i ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 i ^ (0,1 + 1 / s) #

Així que trobem:

#F '_ (e, 1,0,1) (t) = -1 / t ^ 2 i ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ 0,5316916199 #

Com que és negatiu i de valor absolut inferior a #1#, el punt fix a # t # és estable.

També tingueu en compte que per a qualsevol valor real de no diferent de zero # s # tenim:

#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 i ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

Això és #F_ (e, 1,0,1) (s) # és estrictament monòtonament decreixent.

Per tant # t # és l’únic punt fix estable.

Resposta:

Comportament contractiu.

Explicació:

Amb #a = e # i #x = x_0 # la iteració segueix com

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # i també

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Investiguem les condicions per a una contracció en l’operador d’iteració.

Subtraint els dos costats

#y_ {k + 1} -y_k = i ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

però en primera aproximació

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

o bé

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} aprox -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Tenir una contracció que necessitem

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Això s’aconsegueix si

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Suposem #b> 0 # i #k = 1 # tenim.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Així donat # x_0 # i # b # aquesta relació ens permet trobar la iteració inicial sota un comportament contractual.