Quina és la longitud de l'escala si una escala de longitud L es porta horitzontalment al voltant d’una cantonada d’un vestíbul de 3 metres d’ample en un vestíbul de 4 metres d’ample?

Penseu en un segment de línia que s’executa des de # (x, 0) # a # (0, y) # a través de la cantonada interior de #(4,3)#.

La longitud mínima d’aquest segment de línia serà la longitud màxima d’escala que es pot maniobrar al voltant d’aquesta cantonada.

Suposem que # x # està més enllà #(4,0)# per algun factor d’escala, # s #, de 4, així que

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

Mireu el # (1 + s) # apareixent més endavant com a valor a tenir en compte en alguna cosa.

Per triangles similars ho veiem

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Mitjançant el teorema de Pitàgores, es pot expressar el quadrat de la longitud del segment de línia en funció de # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalment prendríem la derivada de L (s) per trobar el mínim, però en aquest cas és més fàcil prendre la derivada de # L ^ 2 (s) #.

(Tingueu en compte que si #L (s) # és mínim # s = s_0 #, llavors # L ^ 2 (s) # també serà mínim a # s = s_0 #.)

Prenent la primera derivada de # L ^ 2 (s) # i fixant-ho a zero, obtenim:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Multiplicant per # s ^ 3 # i després fer factoring # 2 (1 + s) #

ens permet solucionar # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Torneu a connectar aquest valor a l’equació de # L ^ 2 (s) # i tenint l’arrel quadrada (he fet servir un full de càlcul), tenim

la longitud màxima de l'escala # = 9,87 peus (aprox.)