Com es troba la suma de la sèrie geomètrica infinita 10 (2/3) ^ n quan n = 2?

Resposta:

La resposta és tampoc #40/9# o bé #40/3# depenent del que volia dir la pregunta.

Explicació:

Bé, si #n = 2 # llavors no hi ha una suma, la resposta és només:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Però potser la qüestió volia demanar que es prengués la suma infinita a partir de # n = 2 # tal que l’equació sigui:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

En aquest cas, el computaríem primer notant que qualsevol sèrie geomètrica es pot veure com a la forma:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

En aquest cas, la nostra sèrie té #a = 10 # i #r = 2/3 #.

També notarem que:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Podem calcular simplement la suma d’una sèrie geomètrica # (2/3) ^ n # i després multipliqueu aquesta suma per #10# arribar al nostre resultat. Això facilita les coses.

També tenim l’equació:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Això ens permet calcular la suma de les sèries a partir de # n = 0 #. Però volem calcular-lo # n = 2 #. Per fer-ho, simplement restarem el # n = 0 # i # n = 1 # termes de la suma completa. Escrivint els primers termes del resum, podem veure que sembla:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Podem veure que:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#

El terme r _ ("th") d'una sèrie geomètrica és (2r + 1) cdot 2 ^ r. Què significa la suma del primer terme n de la sèrie?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + suma_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 verificem S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0) = 1 =

U_1, u_2, u_3, ... estan en progressió geomètrica (GP). La relació comuna dels termes de la sèrie és K.Ara determinem la suma de la sèrie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) en forma de K i u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) El terme general d'una progressió geomètrica es pot escriure: a_k = ar ^ (k-1) on a és el terme inicial i r la relació comuna. La suma a n termes es dóna per la fórmula: s_n = (un (1-r ^ n)) / (1-r) color (blanc) () Amb la informació donada a la pregunta, la fórmula general de u_k pot ser escrit: u_k = u_1 K ^ (k-1) Tingueu en compte que: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) so: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) color (blanc) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u

Si la suma d'una sèrie geomètrica infinita és 9 i el primer terme és 6, determineu la relació comuna?

La resposta és 1/3 La suma d'una sèrie geomètrica infinita ve donada per a / (1-r) On a és el primer terme i r la relació comuna So 6 / (1-r) = 9 Així r = 1/3