Què són els números complexos?

Els números complexos són números de la forma # a + bi # on # a # i # b # són nombres reals i # i # es defineix com # i = sqrt (-1) #.

(A dalt, una definició bàsica de nombres complexos. Seguiu llegint una mica més sobre ells)

Igual que com denotem el conjunt de nombres reals com # RR #, denotem el conjunt de números complexos com # CC #. Tingueu en compte que tots els nombres reals també són números complexos, com qualsevol nombre real # x # es pot escriure com # x + 0i #.

Donat un nombre complex # z = a + bi #, ho diem # a # és el part real del nombre complex (denotat # "Re" (z) #) i # b # és el part imaginària del nombre complex (denotat # "Im" (z) #).

Realitzar operacions amb números complexos és similar a realitzar operacions en binomis. Donat dos números complexos # z_1 = a_1 + b_1i # i # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) jo #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (recorda # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

Per a la divisió, vam utilitzar el fet que # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Donat un nombre complex # z = a + bi # anomenem # a-bi # el conjugat complex de # z # i denotar-lo #bar (z) # Es tracta d’una propietat útil (com es pot veure anteriorment) #zbar (z) # sempre és un nombre real.

Els nombres complexos tenen moltes aplicacions i atributs útils, però un dels quals sovint es troba primerenc és el seu ús en polinomis de factoring. Si ens limitem a només nombres reals, un polinomi com # x ^ 2 + 1 # no es pot factoritzar encara més, però si permetem números complexos, llavors la tenim # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

De fet, si permetem números complexos, llavors cap polinomi de variable única # n # es pot escriure com a producte de # n # factors lineals (possiblement alguns siguin els mateixos). Aquest resultat es coneix com a teorema fonamental de l'àlgebra, i, com el seu nom indica, és molt important per a l'àlgebra i té una aplicació àmplia.